Equações Logarítmicas

 

Uma equação logarítimica é quando há uma igualdade e uma incógnita que está no logaritmando ou na base do logaritmo.

Não há manual para resolvê-las, pois dependendo da equação, variam as propriedades que devem ser aplicadas. Todavia, sempre depois de encontrar as prováveis soluções, deve-se lembrar de testar na equação e devem satisfazer as condições de existência dos logaritmos.

Pode-se classificar as questões de equações logarítmicas em quatro tipos:

 

  • Igualdade de logaritmos de mesma base

Exemplo: log3(2x+4) = log3(x+8)   =>     2x + 4 = x + 8    => x = 4

Conferindo: log3(2.4 + 4) = log3 (4 + 8)   => log312 = log312 e atende às condições de existência.

  • Igualdade entre um logaritmo e um número real

Exemplo: (PUC-MG) A soma das raízes da equação log22x²-3x+5 = 3 é:

a) 1       b) 2       c) 3         d) 4        e) 5

Pela propriedade do expoente do logaritmo: (x² – 3x + 5) . log22 = 3

Sabendo que log22 = 1, chega-se a (x² – 3x + 5) . 1 = 3

x² – 3x + 5 = 3 => x² – 3x + 2 = 0   =>   x’ = 2 e x”= 1  (2 + 1 = 3)

  • Quando é necessário mudar de incógnita

(MACKENZIE) A raiz real da equação log3 (9x – 2) = x é:

a) log3√2      b)2.log32      c)log32/3     d)log32       e)log3√3

Pelo conceito de logaritmo: log3 (9x – 2) = x  =>   3x = 9x – 2  => 3x = (3x)² – 2 

Substituindo 3x por y =>    y = y² – 2  =>  y² – y – 2 = 0    =>    y’ = -1 e y” = 2

Todavia, 3x = y, e se usarmos y = -1, teremos 3x = -1, o que é considerado um absurdo.

Assim, conclui-se que 3x só pode valer 2: 3x = 2  =>  x = log32

  • Quando é necessário fazer mudança de base
(UFPA) As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log4 (2 + t)5 e B(t) = log2 (2t + 4)², nas quais a variável t representa o tempo em anos. Elas terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:
a) 6      b) 8       c) 10       d) 12       e) 14

 

As duas cidades terão o mesmo número de habitantes quando A(t) = B(t).

Assim, chega-se à seguinte equação: log4 (2 + t)5 = log2 (2t + 4)², em que deve-se encontrar quantos anos vale t.

Desenvolvendo a equação pelas propriedades: 5 . log4 (2 + t) = 2 . log2 (2t + 4)

Utilizando-se da propriedade de mudança de base: 5. log4 (2 + t) = 5 . log (2+t)/log4 => 5 . log (2+t)/2log2

 2 . log2 (2t + 4)  => 2 . log(2t+4) / log 2

Assim: 5. log (2+t) / 2log2 = 2 . log(2t+4) / log 2

5. log (2+t) = 4 . log(2t+4)

log (2+t)5 = log (2t+4)4 =>  (2+t)5 = (2t+4) => (2+t)= [(2)(2+t)]4

(2+t)= [(2)(2+t)]4 => (2+t)= 24.(2+t)4   =>    (2+t) = 16    =>  t = 14

 

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Trabalha com consultoria e educação financeira.
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Guilherme Daros

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Trabalha com consultoria e educação financeira.

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