Média, Moda e Mediana

A média, a moda e a mediana fazem parte da Estatística – ramo da matemática que coleta, organiza e interpreta dados coletados – e são comumente solicitadas em provas de matemática de processos seletivos. Elas são enquadradas como medidas de tendência central, uma vez que buscam representar todo um conjunto por meio dos elementos de seu centro.

MÉDIA

Apesar de existirem vários tipos de média (geométrica, harmônica, ponderada), a mais utilizada no cotidiano é a média aritmética, podendo ser chamada apenas de média. É a soma de todos os elementos de um conjunto dividido pelo número de elementos do conjunto.

x = (x1 + x2 + … xn) / n

MODA

A moda é o valor mais frequente – se existir – em um certo conjunto. Se não existir moda, o conjunto é amodal; se possuir somente uma moda, é unimodal; se possuir dual, bimodal; se houver mais de duas, é multimodal.

MEDIANA

A mediana é o valor central de um conjunto em ordem crescente ou decrescente, ou seja, 50% dos valores do conjuntos são menores que ela e 50% maiores. Se a quantidade de elementos do conjunto for ímpar, a mediana é o valor central. Caso for par, soma-se os dois valores centrais do conjunto e divide-se por 2.

Exemplo 1:

(ENEM-2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda dessa distribuição, então

A) X = Y < Z.

B) Z < X = Y.

C) Y < Z < X.

D) Z < X < Y.

E) Z < Y < X.

Solução:

MODA: o elemento 0 aparece cinco vezes e é o que apresenta maior frequência, então é a moda.

MEDIANA: colocando os 20 valores  em ordem crescente e o número de vezes que aparecem:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7

Como o número de elementos é par, deve-se pegar os dois elementos centrais (2 e 2), somá-los e dividir por 2 (4/2=2)

MÉDIA: (somatório dos elementos)/(número de elementos) => (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7)/20 => 45/20 = 2.25

MÉDIA (X) = 2,25

MEDIANA (Y) = 2

MODA (Z) = 0

Assim, Z < Y < X

 

Exemplo 2:

(ENEM–2010) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe

a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.

b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.

c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.

d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.

e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.

Solução:

Conjunto das notas da Equipe Gama: 0, 6, 6,5, 6,5 7, 7, 8, 8, 10, 10 (Mediana = (7+7)/2 = 7)

Supondo que o aluno faltante tivesse tirado 10: 6, 6,5, 6,5 7, 7, 8, 8, 10, 10, 10 (Mediana – (7+8)/2 = 7,5)

Ou seja, mesmo se ele tivesse tirado nota máxima, sua equipe continuaria na terceira colocação.

Exemplo 3:

(ENEM-2016) Em uma cidade, o número de casos de dengue confirmados aumentou consideravelmente nos últimos dias. A prefeitura resolveu desenvolver uma ação contratando funcionários para ajudar no combate à doença, os quais orientarão os moradores a eliminarem criadouros do mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue. A tabela apresenta o número atual de casos confirmados, por região da cidade.

A prefeitura optou pela seguinte distribuição dos funcionários a serem contratados:

I. 10 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja maior que a média dos casos confirmados.

II. 7 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja menor ou igual à média dos casos confirmados.

Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a ação?

a) 59     b) 65     c) 68    d) 71     e) 80

Solução:

A média aritmética de casos confirmados é a soma do número de cada elemento dividida pelo número de elementos:

média = (237 + 262 + 158 + 159 + 160 + 278 + 300 + 278) / 8  = 229

Regiões acima da média contabilizam 5 (Oeste, Centro, Leste, Centro-Oeste e Centro-Sul), e cada uma receberá 10 funcionários, ou seja, 50 no total.

Regiões abaixo da média contabilizam 3 (Norte, Sul e Noroeste), e cada uma receberá 7 funcionários, ou seja, 21 no total.

O total de funcionários que deverão ser contratados então será de 50 + 21 = 71

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
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Guilherme D.

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

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