Função Logarítmica

A função logarítimica é representada por f(x) = logax, lembrando das condições de a ≠ 1, a>0 e x>0.

Exemplos:

f(x) = log 0,9x

f(x) = log2x

f(x) = log17x

 

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Existem dois modelos de gráficos da função logarítmica:

  • Se a estiver entre 0 e 1, a função é estritamente decrescente

É possível observar neste caso que à medida que x aumenta, y diminui.

 

  • Se a for maior que 1, a função é estritamente crescente

É possível observar neste caso que à medida que x aumenta, y também aumenta.

Fonte das imagens

 

QUESTÕES DE VESTIBULARES

(UFSM) O gráfico mostra o comportamento da função logarítimica na base a. Então o valor

de a é

a) 10      b) 2      c) 1     d) 1/2      e) -2

Ao analisar o gráfico – e sabendo que é de uma função logarítima – observa-se que é estritamente decrescente, assim a está entre os números 0 e 1. A única alternativa viável é então a d.

Para confirmar a observação acima, pode-se ainda encontrar o valor de a.

A função possui a forma f(x) = logax

Pelo gráfico, sabe-se que se x vale 1, f(x) vale 0. Do mesmo modo, se x vale 4, f(x) vale -2.

Substituindo este último dado na fórmula:

f(x) = logax     =>     -2 = loga4       =>        a-2 = 4     =>   (1/a)² = 2²   => 1/a = 2  => a = 1/2

 

(UFSM) Se x > 0 e x ≠ 1, então a expressão y = \frac{1}{(log_{x}2)} + \frac{1}{(log_{x}2^{2})} + \frac{1}{(log_{x}2^{4})} + \frac{1}{(log_{x}2^{8})} + \frac{1}{(log_{x}2^{16})} + … é equivalente a:

a) 2 log2x      b) (3/2) log2x        c) 4/(logx2)       d) 1/(logx2)       e) (5/2)log2x

Pode-se observar pelo enunciado que a expressão equivale a uma progressão geométrica inifita.

Se denominarmos logX2 de K, o primeiro termo (\frac{1}{(log_{x}2)}) será 1/K, e o segundo termo (\frac{1}{(log_{x}2^{2})}) pode ser escrito na forma de 1/2K, enquanto o terceiro (\frac{1}{(log_{x}2^{4})}) seria igual a 1/4K.

Assim, a razão da PG seria 1/2.

Para achar a expressão equivalente a esse somatório, pode-se usar a fórmula da soma de termos de uma PG infinita:

S = a1/(1-q) (a1 = primeiro termo da progressão e q = razão)

Deste modo:

Y = S = a1/(1-q)     => Y = (1/K) / (1 – 1/2)     => Y = 2/K

Lembrando que K = logX2:

Y = 2 / logX

Utilizando-se da propriedade da mudança de base:

Y = 2 / (log22/log2x)      =>     Y = 2/(1/log2x)     => Y = 2 log2

 

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
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Guilherme D.

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

51 comentários em “Função Logarítmica

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