Lei Binomial de Probabilidade

A Lei Binomial é utilizada para calcular a probabilidade em experiências realizadas sob as mesmas condições várias vezes, desde que o resultado de cada uma não afete nenhuma outra, isto é, seja independente.

Sua fórmula é dada por: P = (Cn,k) x (pk) x (1 – p)n-k

Em que n é igual ao número total de repetições da experiência, k o número de vezes de ocorrência do evento A e p é a probabilidade de ocorrer A.

Exemplo 1:

Um dado é lançado cinco vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer um três ou quatro duas vezes?

A probabilidade de ocorrer um três ou quatro em um lançamento é: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

 A probabilidade de não ocorrer três ou quatro em um lançamento é: 1 – 1/3 = 2/3

Assim, pela lei binomial tem-se p=1/3, n=5 e k=2

P = (Cn,k) x (pk) x (1 – p)n-k => P = (C5,2) x (1/3)² x (2/3)3 = 80/243

Exemplo 2:

(UPE) Um dado jogo consiste no lançamento de dois dados não viciados de seis faces cada, numeradas de um a seis. Sempre que o primeiro dado lançado tiver um valor (face para cima) estritamente maior que o valor do segundo dado, o jogador A vence. Se o valor do primeiro dado for estritamente menor que o do segundo dado, vence o jogador B. Em caso de valores iguais, o lançamento é considerado inválido, e os dados são lançados novamente. Nestas condições, em seis partidas válidas, a probabilidade de que o jogador A vença, pelo menos, uma das partidas é igual a
a) 1/36        b) 35/36         c) 1/64         d) 63/64          e) 1/6

Solução: Sabendo que existe a possibilidade de 36 lançamentos, sendo 6 inválidos (caso de valores iguais), ou seja, são válidos 30 lançamentos. Desses, para o jogador vencer, as possibilidades são: 1 e 2 / 1 e 3 / 1 e 4 / 1 e 5 / 1 e 6 / 2 e 3 / 2 e 4 / 2 e 5 / 2 e 6 / 3 e 4 / 3 e 5 / 3 e 6 / 4 e 5 / 4 e 6 / 5 e 6 (15 lançamentos)

Assim, a chance de vencer uma partida é 15/30 = 1/2

O enunciado pede a probabilidade do jogador vencer uma ou mais partidas, que pode ser resolvido de um jeito mais fácil como 1 – (possibilidade do jogador não ganhar nenhuma partida)

n = 6, k = 0, p = 1/2

P = (Cn,k) x (pk) x (1 – p)n-k => (C6,0) x (1/2)0 x (1/2)6 = 1/64 (probabilidade do jogador não ganhar nenhuma partida)

1 – 1/64 = 63/64

 

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
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Guilherme D.

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

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