Permutação

PERMUTAÇÃO SIMPLES

A permutação simples pode ser considerada um caso de arranjo simples em que n elementos são tomados m a m, sendo n = m. Logo, os agrupamentos da permutação simples diferem somente pela ordem dos elementos.

Sua fórmula é dada por Pn = n!, que pode ser deduzida da fórmula do Arranjo (An,n = n! / (n – n)! = n! / 1 = n!)

Exemplo 1 :

(UFMG) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o programdor musical conta com 10 músicas distintas de diferentes estilos assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de rock e 3 de pop.

Sem tempo para fazer essa programação ele decide que em cada um dos programas da emissora serão tocadas de forma aleatória todas as 10 músicas.

Assim sendo, é correto afirmar que o número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas e agrupadas por estilo é dado por :

a) 4! x 3! x 3! x 3!

b) 10!/7!

c) 4! x 3! x 3!

d) 10!/4!

Solução:

Como as músicas que serão tocadas serão agrupadas por estilo, primeiro se realiza a permutação das músicas por estilo:

P4 = 4! (MPB), P3 = 3! (rock), P3 = 3! (pop) => 4! x 3! x 3!

Os grupos de estilos também podem ser permutados, como são 3; P3 = 3!

Assim, o número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas e agrupadas por estilo é dado por : 4! x 3! x 3! x 3!

 

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

O número de permutações diferentes que se pode obter quando aparece um elemento mais de uma vez no conjunto é dado por

Pnn1, n2, em que um elemento repete-se n1 vezes e outro n2 vezes.

Exemplo 2:

(FGV) O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é:

a) 9.400     b) 9.600     c) 9.800     d) 10.200       e) 10.800

Solução:

  • A letra O se repete duas vezes, então o número de permutações da palavra ECONOMIA é dado por: P82 = 8!/2! = 20.160
  • O número de permutações que começam com O é dado por: O _ _ _ _ _ _ _ => 7! = 5.040
  • O número de permutações que terminam com O é dado por: _ _ _ _ _ _ _ O => 7! = 5.040
  • Todavia, o número de permutações que começam e terminam com O foram contados duas vezes, nos dois itens acima: O _ _ _ _ _ _ _ O => 6! = 720

Assim, a resposta será dada por: 20.160 – 5.040 – 5.040 + 720 = 10.800

PERMUTAÇÕES CIRCULARES

A permutação circular é caracterizada quando seus elementos estão dispostos em um círculo, por exemplo: pessoas sentadas numa mesa, crianças brincando em roda. A diferença nos agrupamentos possíveis se dá com os elementos que estão ao lado.

Sua fórmula é dada por PCn = (n -1)! = n! / n

Exemplo 3:

(PUC-SP) Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos?

a) 15       b) 24       c) 18       d) 16       e) 12

Solução:

O número de permutações possíveis é dado por PC5 = (5 -1)! = 4! = 24

O número de maneiras que os dois meninos ficam juntos pode ser calculado considerando que eles sejam apenas um. Assim tem-se 4 crianças. PC4 = (4 – 1)! = 3! = 6. Esses meninos ainda podem se permutar entre si, então multiplica-se por dois: 6 x 2 = 12.

Desse modo, conclui-se que as 5 crianças podem se permutar de 24 maneiras, sendo que em 12 os meninos ficam lado a lado. Então, 24 – 12 = 12. Assim, chega-se ao resultado que os meninos ficam separados de 12 maneiras.

 

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
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Guilherme D.

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

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