Princípio Fundamental da Contagem e Arranjos

 

Com esse post, será dado início ao assunto de Análise Combinatória – área da matemática que se dedica à contagem do número de elementos de um conjunto com certas características.

Para começar, deve-se conhecer o Fatorial, que nada mais é que o produto de números naturais começando com n e decrescendo até 1. O ponto de exclamação é a indicação do fatorial.

 

Fatorial de n = n!

Exemplos:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 x 1

3! = 3 x 2 x 1

4! = 4 x 3 x 2 x 1

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)

O Princípio Fundamental da Contagem é a estrutura básica da Análise Combinatória e afirma que se uma atividade pode ser realizada em duas etapas de m e n maneiras distintas, m x n resultará no total de possibilidades. Geralmente cobrado em perguntas sobre quantidades possíveis de agrupamentos de números de telefone, placas de automóvel e posições na fila.

 

Exemplo 1:

(ENEM-2012)O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Solução:

Sendo três eventos independentes (acertar personagem, comôdo e objeto), pode ser resolvido pelo PFC.

Como são 5 objetos, 6 personagens e 9 cômodos, o total de respostas possíveis é o produto 5 x 6 x 9 = 270.

Mas pelas alternativas, deve-se achar a diferença entre alunos e respostas, logo 280-270 = 10.

 

ARRANJOS SIMPLES

Os arranjos se caracterizam por agrupamentos caracterizados pela ordem dos elementos importar. Na versão simples não ocorre repetição de elementos. Por exemplo, os números de 3 algarismos formados por (1,2,3) sem repetição: 312, 321, 132, 123, 213, 231.

A fórmula é dada por An,p = n! / (n – p)! , em que n é a quantidade de elementos do conjunto que devem formar agrupamentos de p elementos.

 

No exemplo anterior, não precisaria ter escrito por extenso todas os agrupamentos possíveis pelas condições dadas para saber o número total. Poderia ter se calculado pela fórmula:

An,p = n! / (n – p)!, dados n = 3 elementos e p = 3 (pois deve ser formado por 3 algarismos)

A3,3 = 3! / (3 – 3)! = 3! / 0! = 3! / 1 = 3 x 2 x 1 = 6

 

ARRANJOS COM REPETIÇÃO

Os arranjos com repetição são caracterizados por quando a ordem dos elementos importar e cada elemento pode ser contado mais de uma vez.

A fórmula é dada por Arn,p = np, em que n é a quantidade de elementos do conjunto que devem formar agrupamentos de p elementos. 

Por exemplo, os números de 2 algarismos formados por (1,2,3): 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33

Se utilizarmos a fórmula: Ar3,2 = 32 = 9, logo, pode-se formar 9 números de dois algarismos com os números 1, 2 e 3.

 

Exemplo 2:

(FUVEST) a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9?

Pela fórmula do arranjo simples: An,p = n! / (n – p)! => A6,4 = 6! / (6 – 4)! => A6,4 = 6! / 2! => 6 x 5 x 4 x 3 x 2! / 2! => 360

Pelo PFC: _ _ _ _  => 6 x 5 x 4 x 3 = 360

b)  Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5?

Os números divisíveis por 5 são os terminados em 5 e 0, como nenhum dos números do item a) é formado pelo 0, então devem-se ser contados os terminados em 5:

_ _ _ 5, logo sobram 3 espaços que devem ser preenchidos pelos 5 números do conjunto restantes (pois o 5 não pode ser repetido)

A5,3 = 5! / 2! => 5 x 4 x 3 x2! / 2! => 60

Pelo PFC: _ _ _ 5 => 5 x 4 x 3 x 1 = 60

c)  Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4?
Para encontrar os números divisíveis por 4, deve-se atentar para os dois último algarismos, que devem ser divisíveis por 4.

Dos números dados, as possibilidades são:  _ _ 1 6, _ _ 3 6, _ _ 5 6, _ _ 6 8, _ _ 9 6

Sendo 5 terminações possíveis, pode-se achar o resultado por arranjo ou PFC dos dois dígitos iniciais x 5:

Podemos pegar _ _ 1 6 => 4 x 3 x 1 x 1 => 12 x 5 = 60

 

 

 

 

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
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Guilherme D.

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

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