PG-Progressões Geométricas

Definição

Sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos(sempre o de maior posição pelo seu anterior). Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,…), 2/1, q = 2.

Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:

a1 a2 a3 a4 an(número na posição x)
a1 a1 . q a1 . q^2 a1 . q^3 a1 . q^(n-1)

LEGENDA: (.) = Multiplicação e (^)Expoente

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 .q^(n-1)

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 3(posição x), sendo a1 =3(número inicial) e q = 2(razão que multiplica), substituindo-o na fórmula, obtemos:

an = 3 . 2^(3-1) = 12

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, q > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, q < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |q|. Assim, quanto maior for q, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, … , an , …) .

Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:

Sn.q = a1 . q + a2 .q + …. + an-1 . q + an .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:

Sn . q = a2 + a3 + … + an + an . q

Observe que a2 + a3 + … + an é igual a Sn – a1 . Logo, substituindo, vem:

Sn . q = Sn – a1 + an . q

Daí,substituindo, chegaremos à seguinte fórmula da soma , considerando an = a1 . q ^(n-1)   :

Estudante de Análise e Desenvolvimento de Sistemas. Atualmente mora em Londrina. É um dos responsáveis pela fundação do EducaHelp, plataforma de desenvolvimento de conteúdos para Pré-Vestibular.
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Lucas Montini

Estudante de Análise e Desenvolvimento de Sistemas. Atualmente mora em Londrina. É um dos responsáveis pela fundação do EducaHelp, plataforma de desenvolvimento de conteúdos para Pré-Vestibular.

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