Sistemas de Equações de Duas Incógnitas

Neste post serão tratados os sistemas de equações do primeiro grau com duas incógnitas. Uma equação com duas variáveis (x + y = 5, por exemplo) admite infinitas soluções, todavia, quando se tem duas equações com duas variáveis, pode-se formar um sistema e encontrar uma solução que satisfaça as duas equações. A solução pode ser encontrada pelo método da adição ou pelo método da substituição.

  • MÉTODO DA ADIÇÃO

Primeiro busca-se deixar a mesma variável nas duas equações com coeficientes opostos. Assim, somando-se eles, chega-se a uma equação com apenas uma incógnita.

Exemplo:

2x + 5y = 10

x + 2y = 2

 

2x + 5y = 10

-2x – 4y = -4 (multiplicando-se por -2 toda equação,  o x fica oposto em cada equação)

Efetuando a adição das equações

2x + 5y = 10

-2x – 4y = -4

————-

0x + y = 6    => y = 6

Para descobrir o valor da outra variável (x), basta substituir a variável com valor conhecido em qualquer uma das equações

2x + 5y = 10     =>   2x + 5(6) = 10   =>  2x + 30 = 10   => 2x = -20  => x = -10

Assim, conclui-se que x = -10 e y = 6 é solução para esse sistema. Para comprovar, pode-se substituir os valores no sistema inicial.

 

  • MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Neste método, deve-se isolar qualquer uma das variáveis e substituir seu valor na outra equação.

Resolvendo o mesmo exemplo anterior:

2x + 5y = 10

x + 2y = 2

 

2x + 5y = 10

x = 2 – 2y (isolando o x dessa equação)

 

Agora, é só fazer a substituição do valor da variável isolada encontrada na outra equação:

Sendo x = 2 – 2y:

2x + 5y = 10    =>   2(2-2y) + 5y = 10     =>  4 – 4y + 5y = 10  => y = 6

Agora, basta substituir o valor que descobrimos em qualquer uma das equações:

2x + 5y = 10   =>   2x + 5(6) = 10    => 2x + 30 = 10    => 2x = -20  => x = -10

Por fim, chega-se as mesmas respostas. Com a prática, é possível analisar qual método chega-se mais fácil à solução e quais variáveis manipular.

 

CASOS ESPECIAIS

  • SISTEMA COM INFINITAS SOLUÇÕES

x + 2y  = 1

3x + 6y = 3

Ao tentar resolver esse sistema, por exemplo, se obterá 0 = 0. Nesse caso há infinitas soluções possíveis, e pode-se antecipar isso ao visualizar que uma equação é igual a outra multiplicada por um número, no caso, 3.

  • SISTEMA SEM SOLUÇÃO

x + y  = 1

2x + 2y = 3

Ao tentar resolver esse sistema, se chegará num número diferente de zero igual a zero. Todos sistemas que resultam isso, são considerados sem solução admitida. Pode-se antecipar isso ao visualizar que os coeficientes das variáveis são 1 na primeira e 2 na segunda equação, assim, a resposta da segunda equação deveria ser o dobro da primeira, o que não ocorre.

 

 

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Trabalha com consultoria e educação financeira.
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Guilherme Daros

Estudante de Economia na Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Trabalha com consultoria e educação financeira.

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